-

CYFRY ZNACZĄCE, ZAPISYWANIE WYNIKÓW - PODRĘCZNE REGUŁY RACHUNKÓW Z LICZBAMI PRZYBLIŻONYMI

**ostatnia aktualizacja: 7.2.2008**

Przy korzystaniu z przyrządów z podziałką przyjęto zasadę, że wartość najmniejszej działki skali odpowiada dokładności (tzw. “uchybowi”) przyrządu. Dokładność przyrządów z odczytem cyfrowym podana jest przez producenta w dołączonej specyfikacji. Przy zapisywaniu wyników pomiaru, a również w dalszych obliczeniach z zastosowaniem tych pomiarów obowiązuje zasada, że tylko ostatnia cyfra wyniku jest cyfrą niepewną. Tak więc wynik pomiaru masy za pomocą wagi o dokładności 1 g należy podać jako: “1000 g” lub: “1,000x103 g”, a nie: “1 kg”.

Zapis wyniku np. ważenia zależy od przyjętej jednostki pomiaru. Jeśli zważono masę 23 mg (z dokładnością do 0,1 mg), to wynik ten można zapisać jako:

23,0 mg
0,0230 g
0,0000230 kg

Dla uniezależnienia postaci zapisu wyniku od przyjętej jednostki pomiaru (mg, g, kg), wprowadzono pojęcie cyfr znaczących. W analizie objętościowej błąd odczytu objętości wynosi przeciętnie ok. 0,1%. 0,1% oznacza różnicę (błąd) 1 jednostki na 1000 jednostek (w przybliżeniu również na 999 jednostek). Podanie wyniku z dokładnością do 0,1% - oznacza więc zapisanie go z dokładnością do czterech cyfr znaczących jeśli pierwszą cyfrą znaczącą jest 1 lub 2, lub trzech cyfr znaczących - jeśli pierwszą cyfrą jest 9 lub 8. Dla przykładu podano niżej kilka zapisów wyników pomiarów. Cyfry znaczące zapisano wytłuszczoną czcionką:

245 (trzy cyfry znaczące)
0,0245 (trzy cyfry)
0,00205000 (sześć cyfr)
1 (jedna cyfra)
10 (dwie ? cyfry)
1,000 (cztery cyfry)


Zera
dziesiętne tuż po przecinku ułamka dziesiętnego nie są więc miejscami znaczącymi! Dla liczby 70500 pojawia się wątpliwość, czy ostatnie dwa zera są cyframi znaczącymi, czy też wynikają one z przyjętej jednostki pomiaru. W takiej sytuacji stosuje się zapis w postaci iloczynu potęgowego, przy czym pierwszy czynnik jest liczbą z zakresu: 1-10. Jeśli wynik ten zmierzono z dokładnością 1 jednostki, to podać należy go z dokładnością do pięciu cyfr znaczących: 7,0500x104, jeśli zaś z dokładnością do stu jednostek – z dokładnością do trzech cyfr znaczących: 7,05x104. Również można zaznaczyć na końcu kropkę dziesiętną w postaci 70500. .    Jest to pięć cyfr znaczących.

** Nieoczekiwanie okazało się, że jest to dla wielu Studentów niejasne. Kiedy pytam:  "co to ZNACZY - PROCENT?" - to najczęściej dostaję odpowiedź: jedna setna (w domyślności: 0,01). Dla mnie natomiast zawsze kojarzy się to z setną częścią jakiejś konkretnej całości  ("w przeliczeniu na umowną setkę"). I aby ją określić, trzeba obliczyć ile to stanowi jednostek. A dla wielu Studetów polecenie: podać wynik z dokładnością do 0,1% (w domyślności: błąd względny wyniku 0,1%) oznacza podanie trzeciej cyfry po przecinku. Tymczasem trzeba najpierw obliczyć: ile to będzie 0,1% od podawanej liczby? I dopiero wtedy okaże się, jakie jest to miejsce w dziesiętnym systemie pozycyjnym... Tak kończy się skrót myślowy: procent - to 0,01...

Od pewnego czasu muszę odrzucać definicję stężenia molowego jako: liczbę moli podzieloną przez objętość roztworu. Ponieważ Studenci nagminnie dzielą przez liczbę mililitrów; zmuszony jestem do egzekwowania wyraźniejszego zdefiniowania: stężenie molowe, to liczba moli podzielona przez liczbę litrów roztworu.

Drobne nieprecyzyjności mogą się więc z czasem zamieniać w rzeczowe błędy... **

 

ZAOKRĄGLANIE CZY ODCINANIE?

"Zaokrąglić", znaczy: usunąć zbędne cyfry znaczące, ale jednocześnie ostatnią pozostałą cyfrę pozostawić niezmienioną (gdy usuwane cyfry znaczące są mniejsze niż "5") lub powiększyć o "1" - gdy usuwane cyfry znaczące są większe niż "5". Jeśli ostatnie usuwane cyfry znaczące są dokładnie równe "5" (lub "50000"), ostatnia pozostawiona cyfra powinna być parzysta. To trochę tak, jak poglądy niektórych polityków (no, one mogą być zarówno parzyste, jak i nieparzyste...). Prawdopodobieństwo, że trzeba będzie odrzucić tylko jedno miejsce dziesiętne, a na tym miejscu będzie akurat piątka - jest bardzo małe. A jeśli po piątce będą jeszcze jakiekolwiek cyfry (różne od zera) - to ostatnią pozostawioną cyfrę zaokrągla się zawsze "w górę". Bo jest to mniejszy błąd, niż przy zaokrągleniu "w dół".

12,34999 »  12,3              12,35001 »  12,4              12,35000 »  12,4             12,45000 »  12,4                  

 

DODAWANIE I ODEJMOWANIE LICZB PRZYBLIŻONYCH

Wynik powinien zawierać tylko jedną (ostatnią) cyfrę niepewną. W przykładzie jest ona zapisana kursywą.

   234,4

+  71,36

=305,76

Podawanie dwóch cyfr niepewnych w wyniku nie ma sensu: jeśli nie jesteśmy pewni dziesiątych części wyniku, to jakiż sens ma podawanie części setnych? Ostatecznie wynik powinien być podany w postaci:  305,8.

Natomiast wynikiem dodawania: 3,4 + 0,0234567 jest:  3,4

MNOŻENIE I DZIELENIE LICZB PRZYBLIŻONYCH

Wynik powinien zawierać tylko tyle cyfr znaczących, ile ma ich najmniej dokładny czynnik. (W pomiarach wieloetapowych: etap najmniej dokładny decyduje o łącznej dokładności całego ciągu pomiarów).

  234,4 x 0,52 = 121,888. Podać należy tylko dwie cyfry znaczące: 120,  a lepiej:  1,2x102.

Czasami problemem może być obliczanie średniej wyników pomiarów tego samego obiektu:
63,75%; 63,85%; 63,81% .
Średnia wynosi: 63,8033(3)% . Ponieważ jednak seria pomiarów dotyczy tego samego obiektu i różnica występuje już na pierwszym miejscu dziesiętnym po przecinku, zatem już to miejsce jest niepewne i wynik powinien być podany jako: 63,8%. (Zupełnie poprawnie, do rozwiązania podobnych problemów należy zastosować reguły rachunku statystycznego).

PRZYKŁADY

Liczba cyfr znaczących jest niestety powszechnie mylona z miejscami dziesiętnymi po przecinku. To niewinne na pozór nieporozumienie prowadzi jednak czasem do wprowadzania tak wielkich błędów w obliczeniach, że uniemożliwia to zaliczanie wyników analiz – i to pomimo poprawnej pracy laboratoryjnej!

Najlepszą ilustracją będzie podanie konkretnego przykładu obliczeń:

Na zmiareczkowanie 0,1080 g Na2CO3 (Mcz = 106,0) w obecności oranżu metylowego
zużyto 19,60 ml roztworu HCl. Jakie jest stężenie molowe kwasu?

Jeśli 1 mol Na2CO3 ma masę 106,0 g, to masa 0,1080 g stanowi 0,001 mola Na2CO3  (1). Po uwzględnieniu stechiometrii wynikającej z zastosowanego wskaźnika, daje to 0,002 mola HCl  (2).

Jeśli w 19,60 ml roztworu zawarte jest 0,002 mola HCl, to w 1000 ml tego roztworu będzie 0,102 mola (0,102 M HCl)  (3).

W tym ciągu obliczeń popełniono szereg błędów wynikających z niestosowania zasad zapisywania wyników i obliczeń z liczbami przybliżonymi!

Wynik (1) podany jest z dokładnością zaledwie do jednej cyfry znaczącej (pomylono pojęcie cyfr znaczących i miejsc dziesiętnych ułamka dziesiętnego). Poprawny odczyt z kalkulatora wynosi: 0,0010188679. Proszę koniecznie sprawdzić, że różnica zaokrąglenia stanowi prawie 2% obliczonej wartości, a więc jest ok. 20 razy większa od dokładności całego oznaczenia analitycznego! Niedopuszczalne oczywiście jest takie przeprowadzanie obliczeń, które wprowadzają błąd większy niż dokładność oznaczenia laboratoryjnego. To, że liczba zapisywana jest liczbą małą, nie uprawnia do niedozwolonego zaokrąglania. Inaczej możnaby stwierdzić, że jest ona praktycznie równa zero! Odpowiednio liczba (2) wynosi: 0,0020377358, a ostateczny wynik (3) 0,1039661 M HCl.

Aby czynności obliczeniowe uprościć, proponuje się zazwyczaj niezaokrąglanie wyników obliczeń cząstkowych, a jedynie ostateczny rezultat należy zaokrąglić do żądanej dokładności. W powyższym przykładzie oznacza to podanie wartości stężenia z dokładnością do czterech cyfr znaczących, a więc jako: 0,1040 M (zaokrąglić, nie oznacza: odciąć pozostałe cyfry, ale przybliżyć do najbliższej jednostki; tutaj: w górę). Proszę sprawdzić, że wartość ta różni się o ok. 2% od obliczonej błędnie uprzednio: 0,102 M. Posługiwanie się tamtą błędną wartością w dalszych etapach miareczkowania niemal z pewnością uniemożliwi zaliczenie wyników dalszych oznaczeń... Typowa jest reakcja Studentów na niezaliczenie analizy: przecież oznaczenie wykonane było dokładnie; powtarzane było wiele razy i za każdym razem otrzymywano ten sam wynik! Być może, ale jeśli ktoś nie rozumie zasad rachunków, to wprowadza tak wielki błąd systematyczny, ze uzyskanie zaliczenia staje się niemożliwe...

Odwrotnie, ale równie błędne jest podanie wyniku jakiegoś oznaczenia w postaci np.: 523,867 mg. Wynik ten podany jest z dokładnością aż do sześciu cyfr znaczących, a więc z dokładnością absolutnie nieosiągalną w tym laboratorium! Podanie takiego wyniku jest po prostu niedopuszczalną nierzetelnością... Należy go podać z dokładnością do (w praktyce) trzech cyfr znaczących, a więc jako: 524 mg.

Zbyt wielka liczba cyfr znaczących wyświetlana na kalkulatorze powstaje zazwyczaj przypadkowo w wyniku dzielenia. Jeśli np. zmierzono trzykrotnie pewien odcinek za pomocą centymetra krawieckiego (dokładność 1 cm), otrzymując wyniki: 33 cm, 34 cm, 33 cm, to średnia wynosi: (33 cm + 34 cm + 33 cm): 3 = 33,3333(3) cm. Nie oznacza to przecież, że wartość średniej wyznaczono z nieskończenie wielką dokładnością!

Niektóre czynniki należy traktować jako liczby o nieskończenie wielkiej dokładności (np. "2" przy podwajaniu, lub stałe liczbowe w rodzaju mas atomowych).

 

DO CZEGO (nie) SŁUŻY KALKULATOR?

Kalkulator jest urządzeniem, które powinno służyć do zaoszczędzenia czasu i wysiłku przy prowadzeniu obliczeń “na piechotę". Niestety, powszechnie jest on traktowany jako urządzenie mające zwolnić od myślenia... Umiejętność wykonywania w pamięci prostych obliczeń przybliżonych jest niemal niezbędną umiejętnością życiową w sytuacjach codziennych. Przykład:

Jaki procent liczby 512 stanowi liczba 7 ? 

Prawie każdy Student sięga w tym momencie po kalkulator... A przecież rachunki sprowadzają się do obliczenia; ile przypadałoby na jedną setkę. Skoro na (ok.) pięć setek przypada siedem, to na jedną setkę będzie to pięć razy mniej, a więc: 7:5 = trochę więcej, niż jeden (procent). Jest żenujące, że podobne problemy mają ludzie legitymujący się dyplomem maturalnym!

Kalkulator traktowany jest powszechnie jako swego rodzaju fetysz. Bezmyślne zastosowanie kalkulatora prowadzi często do wprowadzenia błędów, których możnaby uniknąć prowadząc obliczenia “na piechotę”. Przykład: obliczenie pH roztworu zawierającego 0,08 mola CH3COOH oraz 0,04 mola CH3COONa w 150 ml (0,15 l) roztworu.

[H+] = Ka (Ck/Cs)
Ck = 0,08/0,15 = 0,537
Cs = 0,04/0,15 = 0,267
[H+] = Ka x 2,007   (4)

Gdyby nie posłużono się kalkulatorem, otrzymanoby (i to nie tylko szybciej i wygodniej, ale również byłby to wynik dokładny!) inny rezultat:

[H+] = Ka (Ck/Cs) = Ka (0,08/0,15 : 0,04/0,15) = Ka x 2

Poprzedni błędny wynik (4) otrzymano na skutek trzykrotnego zaokrąglenia wyników trzech kolejnych dzieleń za pomocą kalkulatora...

Kalkulator wręczany jest jako typowy prezent dla ucznia szkoły podstawowej wraz z (domyślnym) komentarzem: “skończyły się Twoje kłopoty z matematyką! Dostajesz urządzenie, które od tej pory zwalnia Cię od myślenia matematycznego!”. Kontynuacją takiej postawy jest przekonanie, że nie trzeba znać np. właściwości funkcji logarytmicznej. Wystarczy wiedzieć, który przycisk kalkulatora obsługuje funkcję logarytmiczną... Niestety, znajomość właściwości funkcji logarytmicznej jest niezbędnym elementem wiedzy Studentów specjalności przyrodniczych, podobnie jak umiejętność wykonywania w pamięci podstawowych prostych przybliżonych obliczeń jest nieodzowna w życiu codziennym. Ogromnie negatywną rolę w kształtowaniu takiej postawy wobec matematyki, pełnią niektórzy tzw. pedagodzy szkolni” sugerujący, że młodzież jest niezdolna intelektualnie do przyswojenia programów szkolnych z matematyki...

 P.S.
Na grupie dyskusyjnej   pl.sci.fizyka   dyskutowano różne problemy dydaktyczne. Podałem przykład opisanych tu trudności. O tym, że problem nie został przeze mnie "wydumany", niech świadczą fragmenty dwóch listów.

> Wyjaśniam, wykazuję, umieszczam uzasadnienie na swojej stronie www
> (http://www.chem.univ.gda.pl/~tomek/rachunkowe.htm), a i tak nie jestem w
> stanie tego wyegzekwować.

Przeczytałem !
Zaiste popieram wlewanie tego do głowy studenta/studentki wszelkimi dostępnymi środkami z przymusem chłosty włącznie, "Panie Tomku niehabie" ;-)
Często najtrudniej nauczyć rzeczy z pozoru prostych i trywialnych, a jakże potrzebnych w dalszym pojmowaniu swej pracy zawodowej.        (STS)

O rany, ja też. Przy pierwszych laborkach studenci dostają sprawozdania trzydzieści razy pokreślone z napisami "za dużo cyfr, za dużo cyfr". A kazania to powinnam sobie nagrać, bo już nawet mnie one nudzą :)            EwaP HF FH 

 

Tomasz Pluciński
nowy adres:  tomasz.plucinski@ug.edu.pl 

F strona główna