|
CYFRY ZNACZĄCE, ZAPISYWANIE WYNIKÓW -
PODRĘCZNE REGUŁY RACHUNKÓW Z LICZBAMI PRZYBLIŻONYMI
**ostatnia
aktualizacja: 23.4.2018**
Przy korzystaniu z przyrządów z
podziałką przyjęto zasadę, że wartość najmniejszej działki
skali odpowiada dokładności (tzw.
“uchybowi”)
przyrządu. Dokładność przyrządów z odczytem
cyfrowym podana jest przez producenta w dołączonej specyfikacji. Przy zapisywaniu wyników pomiaru, a
również w dalszych obliczeniach z zastosowaniem tych pomiarów obowiązuje
zasada, że tylko ostatnia cyfra wyniku jest cyfrą niepewną.
Tak więc wynik pomiaru masy za pomocą wagi o dokładności 1 g należy podać jako: “1000 g”
lub: “1,000x103 g”, a nie: “1 kg”.
Zapis wyniku np.
ważenia zależy od przyjętej jednostki pomiaru. Jeśli zważono
masę 23 mg (z dokładnością do 0,1 mg), to wynik ten można
zapisać jako:
23,0 mg
0,0230 g
0,0000230 kg
Dla uniezależnienia
postaci zapisu wyniku od przyjętej jednostki pomiaru (mg, g,
kg), wprowadzono pojęcie cyfr znaczących. W
analizie objętościowej błąd odczytu objętości wynosi przeciętnie
ok. 0,1%. 0,1% oznacza różnicę (błąd) 1 jednostki na 1000
jednostek (w przybliżeniu również na 999 jednostek). Podanie
wyniku z dokładnością do 0,1% - oznacza więc zapisanie go z
dokładnością do czterech
cyfr znaczących jeśli pierwszą cyfrą znaczącą
jest 1 lub 2, lub trzech cyfr znaczących - jeśli
pierwszą cyfrą jest 9 lub 8. Dla przykładu podano niżej kilka
zapisów wyników pomiarów. Cyfry znaczące zapisano wytłuszczoną czcionką:
| 245
|
(trzy cyfry
znaczące) |
| 0,0245 |
(trzy cyfry) |
| 0,00205000
|
(sześć cyfr) |
| 1
|
(jedna cyfra)
|
| 10
|
(dwie ? cyfry) |
| 1,000
|
(cztery cyfry) |
Zera
dziesiętne tuż po przecinku ułamka dziesiętnego nie są więc miejscami
znaczącymi! Dla liczby 70500 pojawia się wątpliwość, czy ostatnie
dwa
zera są cyframi znaczącymi, czy też wynikają one z przyjętej
jednostki pomiaru. W takiej sytuacji stosuje się zapis w postaci iloczynu potęgowego, przy czym
pierwszy czynnik jest liczbą z zakresu: 1-10. Jeśli wynik ten
zmierzono z dokładnością 1 jednostki, to podać należy go z
dokładnością do pięciu
cyfr znaczących: 7,0500x104, jeśli zaś z dokładnością do
stu jednostek – z dokładnością do
trzech
cyfr
znaczących: 7,05x104.
Również można zaznaczyć na końcu kropkę dziesiętną w postaci 70500. .
Jest to pięć cyfr znaczących.
**
Nieoczekiwanie okazało się, że jest to dla wielu Studentów
niejasne. Kiedy pytam: "co to ZNACZY - PROCENT?"
- to najczęściej dostaję odpowiedź: jedna setna (w
domyślności: 0,01). Dla mnie natomiast zawsze kojarzy się to
z setną częścią jakiejś konkretnej całości ("w
przeliczeniu na umowną setkę"). I aby ją określić,
trzeba obliczyć ile to stanowi jednostek. A dla wielu
Studetów polecenie: podać wynik z dokładnością do 0,1%
(w domyślności: błąd względny wyniku 0,1%) oznacza
podanie trzeciej cyfry po przecinku.
Tymczasem trzeba najpierw obliczyć: ile to będzie 0,1% od
podawanej liczby? I dopiero wtedy okaże się, jakie jest to
miejsce w dziesiętnym systemie pozycyjnym... Tak kończy się
skrót myślowy: procent - to 0,01...
Od pewnego czasu muszę
odrzucać definicję stężenia molowego jako: liczbę moli
podzieloną przez objętość roztworu.
Ponieważ Studenci nagminnie dzielą przez liczbę mililitrów;
zmuszony jestem do egzekwowania wyraźniejszego
zdefiniowania: stężenie molowe, to liczba moli podzielona
przez liczbę litrów roztworu.
Drobne nieprecyzyjności
mogą się więc z czasem zamieniać w rzeczowe błędy...
**
ZAOKRĄGLANIE CZY
ODCINANIE?
"Zaokrąglić", znaczy:
usunąć zbędne cyfry znaczące, ale jednocześnie ostatnią
pozostałą cyfrę pozostawić niezmienioną (gdy usuwane
cyfry znaczące są mniejsze niż "5") lub powiększyć o "1" - gdy
usuwane cyfry znaczące są większe niż "5". Jeśli
ostatnie usuwane cyfry znaczące są dokładnie równe
"5" (lub "50000"), ostatnia
pozostawiona cyfra powinna być
parzysta.
To trochę tak, jak poglądy niektórych polityków (no, one mogą
być zarówno parzyste, jak i nieparzyste...).
Prawdopodobieństwo, że trzeba będzie odrzucić tylko jedno
miejsce dziesiętne, a na tym miejscu będzie akurat piątka -
jest bardzo małe. A jeśli po piątce będą jeszcze
jakiekolwiek cyfry (różne od zera) - to ostatnią
pozostawioną
cyfrę zaokrągla się zawsze "w górę". Bo jest to mniejszy błąd,
niż przy zaokrągleniu "w dół".
12,34999 »
12,3
12,35001
»
12,4
12,35000 »
12,4 12,45000 »
12,4
DODAWANIE I
ODEJMOWANIE LICZB PRZYBLIŻONYCH
Wynik powinien zawierać tylko jedną
(ostatnią) cyfrę niepewną. W przykładzie jest ona
zapisana kursywą.
Podawanie dwóch cyfr
niepewnych w wyniku nie ma sensu: jeśli nie jesteśmy pewni
dziesiątych części wyniku, to jakiż sens ma podawanie części
setnych? Ostatecznie wynik powinien być podany w postaci: 305,8.
Natomiast wynikiem dodawania: 3,4 + 0,0234567
jest: 3,4
MNOŻENIE I DZIELENIE
LICZB PRZYBLIŻONYCH
Wynik powinien zawierać
tylko tyle cyfr
znaczących, ile ma ich najmniej dokładny czynnik. (W pomiarach wieloetapowych: etap najmniej
dokładny decyduje o łącznej dokładności całego ciągu pomiarów).
234,4 x 0,52 = 121,888. Podać należy tylko dwie cyfry znaczące: 120, a lepiej: 1,2x102.
Czasami problemem może być obliczanie
średniej
wyników pomiarów tego samego obiektu:
63,75%; 63,85%; 63,81% .
Średnia wynosi: 63,8033(3)% . Ponieważ jednak seria pomiarów dotyczy tego samego obiektu i różnica
występuje już na pierwszym miejscu dziesiętnym po przecinku, zatem już to miejsce jest niepewne i wynik
powinien być podany jako: 63,8%. (Zupełnie poprawnie, do
rozwiązania podobnych problemów należy zastosować reguły
rachunku statystycznego).
PRZYKŁADY
Liczba cyfr znaczących
jest niestety powszechnie mylona z miejscami dziesiętnymi po
przecinku. To niewinne na pozór nieporozumienie prowadzi jednak
czasem do wprowadzania tak wielkich błędów w obliczeniach, że
uniemożliwia to zaliczanie wyników analiz
– i to pomimo poprawnej pracy laboratoryjnej!
Najlepszą ilustracją
będzie podanie konkretnego przykładu obliczeń:
Na
zmiareczkowanie 0,1080 g Na2CO3
(Mcz = 106,0) w obecności
oranżu metylowego
zużyto 19,60 ml
roztworu HCl. Jakie jest stężenie molowe kwasu?
Jeśli 1 mol Na2CO3 ma masę 106,0 g, to masa 0,1080 g stanowi 0,001 mola Na2CO3
(1). Po uwzględnieniu stechiometrii wynikającej z zastosowanego
wskaźnika, daje to 0,002 mola HCl (2).
Jeśli w 19,60 ml roztworu zawarte jest
0,002 mola HCl, to w 1000 ml tego roztworu będzie 0,102 mola (0,102 M HCl) (3).
W tym
ciągu obliczeń popełniono szereg błędów wynikających z
niestosowania zasad zapisywania wyników i obliczeń z liczbami
przybliżonymi!
Wynik (1) podany jest
z dokładnością zaledwie do jednej cyfry znaczącej (pomylono pojęcie cyfr znaczących i miejsc
dziesiętnych ułamka dziesiętnego).
Poprawny odczyt z kalkulatora wynosi: 0,0010188679. Proszę koniecznie sprawdzić, że różnica zaokrąglenia
stanowi prawie 2% obliczonej wartości, a więc jest
ok. 20 razy większa od dokładności
całego oznaczenia analitycznego!
Niedopuszczalne oczywiście jest takie przeprowadzanie
obliczeń, które wprowadzają błąd większy niż dokładność oznaczenia
laboratoryjnego. To, że liczba zapisywana jest liczbą
małą, nie uprawnia do niedozwolonego zaokrąglania. Inaczej
możnaby stwierdzić, że jest ona
praktycznie równa zero! Odpowiednio liczba (2)
wynosi: 0,0020377358, a ostateczny wynik (3)
0,1039661 M HCl.
Aby czynności obliczeniowe uprościć,
proponuje się zazwyczaj niezaokrąglanie wyników obliczeń cząstkowych,
a jedynie ostateczny rezultat należy zaokrąglić do żądanej dokładności. W
powyższym przykładzie oznacza to podanie wartości stężenia z
dokładnością do czterech cyfr znaczących, a więc
jako: 0,1040 M (zaokrąglić, nie oznacza: odciąć pozostałe cyfry, ale przybliżyć
do najbliższej jednostki; tutaj: w górę). Proszę sprawdzić, że wartość
ta różni się o ok. 2% od obliczonej błędnie uprzednio: 0,102
M. Posługiwanie się tamtą błędną wartością
w dalszych etapach miareczkowania niemal z pewnością
uniemożliwi zaliczenie wyników dalszych oznaczeń... Typowa jest reakcja Studentów na niezaliczenie
analizy: przecież oznaczenie wykonane było
dokładnie; powtarzane było wiele razy i za
każdym razem otrzymywano ten sam wynik! Być może, ale jeśli ktoś nie
rozumie zasad rachunków, to wprowadza
tak wielki błąd systematyczny, ze uzyskanie zaliczenia staje się
niemożliwe...
Odwrotnie, ale równie błędne jest podanie wyniku
jakiegoś oznaczenia w postaci np.: 523,867 mg. Wynik ten podany jest z
dokładnością aż do sześciu cyfr znaczących, a więc z dokładnością absolutnie
nieosiągalną w tym laboratorium! Podanie takiego wyniku jest po prostu
niedopuszczalną nierzetelnością... Należy go podać z dokładnością
do (w praktyce) trzech cyfr znaczących, a więc jako:
524
mg.
Zbyt wielka liczba cyfr znaczących
wyświetlana na kalkulatorze powstaje zazwyczaj przypadkowo w wyniku dzielenia. Jeśli
np. zmierzono trzykrotnie pewien odcinek za pomocą centymetra
krawieckiego (dokładność 1 cm),
otrzymując wyniki: 33 cm, 34 cm, 33 cm, to średnia
wynosi: (33 cm + 34 cm + 33 cm): 3 =
33,3333(3) cm. Nie oznacza to przecież, że wartość średniej wyznaczono z
nieskończenie wielką dokładnością!
Niektóre czynniki należy traktować jako liczby o nieskończenie
wielkiej dokładności (np. "2" przy podwajaniu, lub stałe
liczbowe w rodzaju mas atomowych).
DO CZEGO (nie) SŁUŻY KALKULATOR?
Kalkulator jest urządzeniem, które
powinno służyć do zaoszczędzenia czasu i wysiłku przy prowadzeniu
obliczeń “na piechotę". Niestety, powszechnie jest on traktowany jako
urządzenie mające zwolnić od myślenia...
Umiejętność wykonywania w pamięci
prostych obliczeń przybliżonych jest niemal niezbędną
umiejętnością życiową
w sytuacjach codziennych. Przykład:
Jaki procent liczby 512 stanowi liczba 7 ?
Prawie
każdy Student sięga w tym momencie po
kalkulator... A przecież rachunki sprowadzają się do obliczenia; ile przypadałoby na
jedną setkę. Skoro na (ok.) pięć setek przypada siedem, to na
jedną setkę będzie to pięć razy mniej, a więc: 7:5 = trochę
więcej, niż jeden (procent). Jest żenujące, że podobne
problemy mają ludzie legitymujący się dyplomem maturalnym!
Kalkulator traktowany jest
powszechnie jako swego rodzaju fetysz. Bezmyślne zastosowanie kalkulatora prowadzi często
do wprowadzenia błędów, których możnaby uniknąć prowadząc obliczenia “na piechotę”. Przykład: obliczenie pH roztworu
zawierającego 0,08 mola CH3COOH oraz 0,04 mola CH3COONa
w 150 ml (0,15 l) roztworu.
[H+]
= Ka (Ck/Cs)
Ck = 0,08/0,15 =
0,537
Cs
= 0,04/0,15 = 0,267
[H+] = Ka x 2,007
(4)
Gdyby nie posłużono
się kalkulatorem, otrzymanoby (i to nie tylko szybciej i wygodniej, ale
również byłby to wynik dokładny!) inny rezultat:
[H+] = Ka
(Ck/Cs) = Ka
(0,08/0,15 : 0,04/0,15) = Ka x 2
Poprzedni błędny wynik (4) otrzymano na skutek trzykrotnego
zaokrąglenia wyników trzech kolejnych dzieleń za pomocą kalkulatora...
Cytowany wyżej fragment jest właśnie przykładem braku konsekwencji w stosowaniu zawartych tam zaleceń... Proponuję skorygowanie tych
błędow, zawierają one wiele uchybień typowych dla sprawozdań studenckich (i nie tylko).
Popełniłem kiedyś to opracowanie jako wyraz frustracji dla nonszalancji publikowania wyników pomiarow. I wynikającego stąd braku zaufania do samej
techniki pomiarów.
Jednym z przykładów codziennych jest podawanie w TV przy okazji prognozy pogody - wartości ciśnienia z nieosiągalną dokładnością np 1010,5 hPa
(nieosiągalną i zupełnie niepotrzebną).
Kalkulator wręczany jest jako typowy prezent dla ucznia szkoły
podstawowej wraz z (domyślnym) komentarzem: “skończyły się Twoje kłopoty z matematyką! Dostajesz
urządzenie, które od tej pory zwalnia Cię od myślenia
matematycznego!”. Kontynuacją takiej postawy jest
przekonanie, że nie trzeba znać np. właściwości funkcji logarytmicznej.
Wystarczy wiedzieć, który przycisk kalkulatora obsługuje funkcję
logarytmiczną... Niestety, znajomość
właściwości funkcji
logarytmicznej jest niezbędnym elementem wiedzy
Studentów specjalności przyrodniczych, podobnie jak umiejętność
wykonywania w pamięci podstawowych prostych przybliżonych
obliczeń
jest nieodzowna w życiu codziennym. Ogromnie negatywną rolę
w kształtowaniu takiej
postawy wobec matematyki, pełnią
niektórzy tzw. “pedagodzy szkolni” sugerujący, że młodzież jest niezdolna intelektualnie do przyswojenia
programów szkolnych z matematyki...
P.S.
Na grupie dyskusyjnej pl.sci.fizyka
dyskutowano różne problemy dydaktyczne. Podałem przykład
opisanych tu trudności. O tym, że problem nie został przeze
mnie "wydumany", niech świadczą fragmenty dwóch listów.
> Wyjaśniam, wykazuję, umieszczam
uzasadnienie na swojej stronie www
> (http://www.chem.univ.gda.pl/~tomek/rachunkowe.htm),
a i tak nie jestem w
> stanie tego wyegzekwować.
Przeczytałem !
Zaiste popieram wlewanie tego do głowy studenta/studentki
wszelkimi dostępnymi środkami z przymusem chłosty włącznie,
"Panie Tomku niehabie" ;-)
Często najtrudniej nauczyć rzeczy z pozoru prostych i
trywialnych, a jakże potrzebnych w dalszym pojmowaniu swej
pracy zawodowej. (STS)
O rany, ja też. Przy pierwszych laborkach
studenci dostają sprawozdania trzydzieści razy pokreślone z
napisami "za dużo cyfr, za dużo cyfr". A
kazania to powinnam sobie nagrać, bo już nawet mnie one
nudzą :)
EwaP HF FH
Tomasz Pluciński
nowy adres:
tomasz.plucinski@ug.edu.pl
|